题目内容
2．已知，如图（1），△ABC、△AED均为等腰Rt△（其顶点A、B、E重合），且∠BAC=∠AED=90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连OF．（1）如图（1），此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图（2），此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）将△AED绕点A继续旋转如图（3），此时$\frac{OF}{EC}$的值又是多少？试证明你的结论？
（3）设在旋转过程中，边AD、AE交线段BC于M、N，如图（4），将△ABM沿直线AD折叠，设B的对应点为B1，连NB1，请完成图（4），并判断△MB1N的形状直角三角形（不需证明）．
分析 （1）如图1，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质求得即可；如图2，根据等腰直角三角形斜边中线的性质求得AF=AO，进而通过证得△AFO∽△AEC，根据相似三角形对应边成比例即可求得；
（2）如图3，通过证得△AFO∽△AEC，根据相似三角形对应边成比例即可求得；
（3）如图4，根据折叠的性质和证得△AB1N≌△ACN得出∠AB1N=∠C=45°，即可证得△MB1N是直角三角形．
解答 
解：（1）如图1，
∵四边形ADEC是平行四边形，O为BC的中点，F为AD的中点，
∴OF=AC，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵△ABC为等腰Rt△，且∠BAC=90°，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
如图2，在等腰Rt△ADE中，F为AD的中点，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，
在等腰Rt△ABC中，O为BC的中点，
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BAO=∠CAO=45°，
∵AE=AC，
∴AF=AO，
∴△AFO∽△AEC，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）如图3，连接AO，
在等腰Rt△ADE中，F为AD的中点，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，
在等腰Rt△ABC中，O为BC的中点，
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BAO=∠CAO=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠CAO，
∴∠DAE-∠EAO=∠CAO-∠EAO，
即∠DAO=∠CAE，
∵AE=AC，
∴AF=AO，
∴△AFO∽△AEC，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）如图4，根据题意AB=AB1，∠AB1M=∠ABM=45°，∠BAD=∠B1AD，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠B1AD+∠CAE=45°，
∵∠DAE=∠B1AM+∠B1AN，
∴∠B1AN=∠CAN，
∵AB=AB1，AB=AC，
∴AB1=AC，
在△AB1N和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{A{B}_{1}=AC}\\{∠{B}_{1}AN=∠CAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AB1N≌△ACN（SAS），
∴∠AB1N=∠C=45°，
∴∠MB1N=AB1M+AB1N=45°+45°=90°，
∴△MB1N是直角三角形；
故答案为：直角三角形．
点评 本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E、F分别为AB、CD上的点，且BE=CF，连接EF，沿过点D的直线将∠A翻折，使得点A落在EF上的点H处，折痕交AE于点G，当BH最短时，EG=4-4$\sqrt{2}$cm．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD，交BC于点E，交BD于点G，BC的中点为F，连接FG