Question

8．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，求∠A的正切值．
小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．

（1）图2中与∠A相等的角为∠D，∠A的正切值为$\frac{1}{2}$；
（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）
解决问题：如图3，在△GHK中，HK=2，HG=$2\sqrt{10}$，KG=$2\sqrt{5}$，延长HK，求∠α+∠β的度数．

Answer 1

分析 （1）由图得知：AC=$\sqrt{2}$，DE=2，BC=2，EF=2$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{10}$，DF=2$\sqrt{10}$，通过三边对应成比例，两三角形相似得到△ABC∽△DFE，于是得到结论；
（2）根据已知，把△GHK放到正方形网格中，连结GM，如图4，由图得知各个相等的长度，于是得到$\frac{HG}{GK}=\frac{HM}{MG}=\frac{GM}{KM}$=$\sqrt{2}$，得到△MKG∽△MGH，求得∠α=∠1，根据三角形外角的性质即可得到结果．

解答 解：（1）由图得知：AC=$\sqrt{2}$，DE=2，BC=2，EF=2$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{10}$，DF=2$\sqrt{10}$，
∴$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠D=∠A，
∴tanA=tanD=$\frac{1}{2}$；
故答案为：∠D，$\frac{1}{2}$；

（2）根据已知，把△GHK放到正方形网格中，连结GM，
如图4，∵可得KM=2，MG=$2\sqrt{2}$，
∴HM=4，HG=$2\sqrt{10}$，MG=$2\sqrt{2}$，
MG=$2\sqrt{2}$，KG=$2\sqrt{5}$，KM=2，
∴$\frac{HG}{GK}=\frac{HM}{MG}=\frac{GM}{KM}$=$\sqrt{2}$，
∴△MKG∽△MGH，
∴∠α=∠1，
∵∠1+∠β=45°，
∴∠α+∠β=45°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，外角的性质，找准相似三角形是解题的关键．