Question

12．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．
小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．
（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）
参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；
（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$），∠AED=∠BCD，求$\frac{AE}{EC}$的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）作AF⊥BC，判断出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；
（2）先求出tan∠DAE=$\frac{1}{2}$，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；
（3）构造含30°角的直角三角形，设出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=$\sqrt{3}$a（k+1），BC=2BH=2$\sqrt{3}$a（k+1），CG=$\sqrt{3}$a（2k+1），DN=$\sqrt{3}$ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．

解答 证明：（1）如图2，

作AF⊥BC，
∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠BEA}\\{∠DAB=∠ABD}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BAE（AAS），
∴BF=AE
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2AE，
故答案为AAS
（2）如图3，

连接AD，作CG⊥AF，
在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，
∴AD=CD，
∵点E是DC中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AD，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴∠F+∠EAC=45°，
∵∠DAE+∠EAC=45°，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠F=tan∠DAE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CG}{CF}=\frac{1}{2}$，
∴CG=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，
∴∠DCG=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴△DCG∽△ACE，
∴$\frac{DC}{AC}=\frac{CG}{CE}$，
∵CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AC，
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AC}{AC}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}AC}$，
∴AC=4；
∴AB=4；
（3）如图4，

过点D作DG⊥BC，设DG=a，
在Rt△BGD中，∠B=30°，
∴BD=2a，BG=$\sqrt{3}$a，
∵AD=kDB，
∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），
过点A作AH⊥BC，
在Rt△ABH中，∠B=30°．
∴BH=$\sqrt{3}$a（k+1），
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2$\sqrt{3}$a（k+1），
∴CG=BC-BG=$\sqrt{3}$a（2k+1），
过D作DN⊥AC交CA延长线与N，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAN=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=ka，DN=$\sqrt{3}$ka，
∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，
∴△NDE∽△GDC．
∴$\frac{DN}{DG}=\frac{NE}{CG}$，
∴$\frac{\sqrt{3}ka}{a}=\frac{NE}{\sqrt{3}a（2k+1）}$，
∴NE=3ak（2k+1），
∵AN=ka，
∴AE=NE-AN=2ak（3k+1），
∴EC=AC-AE=AB-AE=2a（k+1）-2ak（3k+1）=2a（1-3k²），
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{2ak（3k+1）}{2a（1-3{k}^{2}）}$=$\frac{3{k}^{2}+k}{1-3{k}^{2}}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，中点的定义，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．