Question

16．如图，直线y₁=x+b与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$交于点A（1，4）和点B，经过点A的另一条直线与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$交于点C．则：
①直线AB的解析式为y₁=x+3；
②B（-1，-4）；
③当x＞1时，y₂＜y₁；
④当AC的解析式为y=4x时，△ABC是直角三角形．
其中正确的是①③④．（把所有正确结论的序号都写在横线上）

Answer 1

分析 将点A（1，4）分别代入y₁=x+b与y₂=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法求出直线AB的解析式与双曲线的解析式，即可判断①；
把y₁=x+3代入y₂=$\frac{4}{x}$，求出x的值，再计算出y的值，求得B点坐标，即可判断②；
观察图象，当x＞1时，双曲线落在直线的下方，即可判断③；
将y=4x代入y₂=$\frac{4}{x}$，求出x的值，再计算出y的值，求得C点坐标，根据A、B、C三点的坐标，利用两点间的距离公式，计算得出AB²+BC²=AC²，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，即可判断④．

解答 解：∵直线y₁=x+b与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$交于点A（1，4），
∴4=1+b，4=$\frac{k}{1}$，
∴b=3，k=4，
∴直线AB的解析式为y₁=x+3，双曲线的解析式为y₂=$\frac{4}{x}$，
故①正确；
把y₁=x+3代入y₂=$\frac{4}{x}$，得x+3=$\frac{4}{x}$，
整理得，x²+3x-4=0，
解得x=-4或1，
当x=-4时，y₁=-4+3=-1，
∴B点坐标为（-4，-1），
故②错误；
由图象可知，y₂＜y₁时，-4＜x＜0或x＞1，
∴当x＞1时，y₂＜y₁，
故③正确；
当AC的解析式为y=4x时，把y=4x代入y₂=$\frac{4}{x}$，得4x=$\frac{4}{x}$，
整理得，4x²=4，
解得x=±1，
当x=-1时，y=-4，
∴C（-1，-4）．
∵A（1，4），B（-4，-1），C（-1，-4），
∴AB²=（-4-1）²+（-1-4）²=50，
BC²=（-1+4）²+（-4+1）²=18，
AC²=（-1-1）²+（-4-4）²=68，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形．
则正确的结论是①③④．
故答案为①③④．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，方程组的解即为交点坐标．也考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理的逆定理以及数形结合的思想．