如图.面积为8cm2的正方形OABC的边OA.OC在坐标轴上.点P从点O出发.以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点C运动,同时点Q从C点出发以相同的速度沿x轴的正方向运动.规定P点到达点C时.点Q也停止运动.过点Q作平行于y轴的直线l．连结AP.过P作AP的垂线交l于点D.连结AD.AD交BC于点E．设点P运动的时间为t秒．(1)计算和推理得出以下结论:①点B的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，面积为8cm²的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点C运动；同时点Q从C点出发以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定P点到达点C时，点Q也停止运动，过点Q作平行于y轴的直线l．连结AP，过P作AP的垂线交l于点D，连结AD，AD交BC于点E．设点P运动的时间为t秒．
（1）计算和推理得出以下结论（直接填空）：
①点B的坐标为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；②在点P的运动过程中，总与△AOP全等的三角形是△PQD；
③用含t的代数式表示点D的坐标为（2$\sqrt{2}$+t，t）；④∠PAD=45°度；
（2）当△APD面积为5cm²时，求t的值；
（3）当AP=AE时，求t的值（可省略证明过程，写出必要的数量关系列式求解）．

分析（1）①根据正方形的面积求出边长，得到点B的坐标；
②根据OA=PQ，又由于∠AOP=∠APD=∠PQD=90°，证明△AOP≌△PQD；
③根据OP=CQ，得到点D的坐标；
④根据PA=PD，∠APD=90°，得到∠PAD=45度；
（2）根据△APD为等腰直角三角形，求出t的值；
（3）作DG⊥y轴交BC于G，证明BE=OP=t，求出EG的长，根据AB∥DG，得到成比例线段，求出t．

解答解：（1）①∵正方形OABC的面积为8，
∴OA=OC=2$\sqrt{2}$，
∴点B（2$\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$）；
②∵OP=CQ，
∴OC=PQ，
∴OA=PQ，又∠AOP=∠APD=∠PQD=90°，
∴△AOP≌△PQD；
③∵OP=CQ，点D（$2\sqrt{2}$+t，t）；
④△AOP≌△PQD，
∴PA=PD，
又∵∠APD=90°，
∵∠PAD=45度；
（2）∵PD=$\sqrt{P{Q^2}+Q{D^2}}$=$\sqrt{8+{t^2}}$，S_△APD=$\frac{1}{2}$PD²=5，
∴8+t²=10，
∴t=$\sqrt{2}$；
（3）过D作DG⊥y轴交BC于G，
∵AP=AE，
∴△AOP≌△ABE，
∴BE=OP=t，
EG=2$\sqrt{2}$-2t，
∵AB∥DG，
∴$\frac{BE}{EG}$=$\frac{AB}{DG}$，
∴$\frac{t}{{2\sqrt{2}-2t}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{t}$，
解得t=4-2$\sqrt{2}$．