Question

18．如图，正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长为2，正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的外接圆与正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的各边相切，正六边形A₃B₃C₃D₃E₃F₃的外接圆与正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的各边相切，…按这样的规律进行下去，A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀E₁₀F₁₀的边长为（　　）

• A． $\frac{243}{{2}^{9}}$
• B． $\frac{81\sqrt{3}}{{2}^{9}}$
• C． $\frac{81}{{2}^{9}}$
• D． $\frac{81\sqrt{3}}{{2}^{8}}$

Answer 1

分析 连接OE₁，OD₁，OD₂，如图，根据正六边形的性质得∠E₁OD₁=60°，则△E₁OD₁为等边三角形，再根据切线的性质得OD₂⊥E₁D₁，于是可得OD₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$E₁D₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的边长=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2，同理可得正六边形A₃B₃C₃D₃E₃F₃的边长=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²×2，依此规律可得正六边形A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀E₁₀F₁₀的边长=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁹×2，然后化简即可．

解答 解：连接OE₁，OD₁，OD₂，如图，
∵六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁为正六边形，
∴∠E₁OD₁=60°，
∴△E₁OD₁为等边三角形，
∵正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的外接圆与正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的各边相切，
∴OD₂⊥E₁D₁，
∴OD₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$E₁D₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2，
∴正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的边长=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2，
同理可得正六边形A₃B₃C₃D₃E₃F₃的边长=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²×2，
则正六边形A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀E₁₀F₁₀的边长=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁹×2=$\frac{81\sqrt{3}}{{2}^{8}}$．
故选D．

点评 本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．