Question

15．已知关于x的方程x²-（m+2）x+m²+1=0的两个实数根的平方和为5，则实数m的取值是1．

Answer 1

分析 设方程x²-（m+2）x+m²+1=0的两个实数根为x₁，x₂，由根与系数的关系可得出x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=m²+1，结合两个实数根的平方和为5，可得出关于m的一元二次方程，解方程可求出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m的一元二次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，由此即可得出m值．

解答 解：设方程x²-（m+2）x+m²+1=0的两个实数根为x₁，x₂，
则有：x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=m²+1，
∵${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=（m+2）²-2（m²+1）=5，
解得：m₁=1，m₂=3．
∵关于x的方程x²-（m+2）x+m²+1=0有两个实数根，
∴△=[-（m+2）]²-4（m²+1）=-3m²+4m＞0，
解得：0＜m＜$\frac{4}{3}$，
∴m=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式、解一元二次方程以及解一元二次方程组，解题的关键是找出关于m的一元二次方程以及一元二次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别的结合方程根的情况得出方程（或不等式）是关键．