Question

9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，线段AC的垂直平分线交AC于D点，交BC于E点，过点A作BC的平行线交直线ED于F点，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=10，∠ACB=30°，求菱形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明AF=FC=CE=EA，即可判断四边形AECF是菱形；
（2）求出菱形的对角线的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可；

解答 （1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴FA=FC，EA=EC，
∵AF∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AE=CE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∵EF⊥AC，
∴∠ADF=∠ADE=90°．
∵∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°．
∴∠4=∠5．
∴AF=AE，
∴AF=FC=CE=EA，
∴四边形AECF是菱形．

（2）解：∵∠BAC=∠ADF=90°，
∴AB∥FE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=10，
∴FE=AB=10，
∵∠ACB=30°，
∴AC=$\frac{AB}{tan∠ACB}$=10$\sqrt{3}$，．
∴${S_{菱形AECF}}=\frac{1}{2}AC•FE=50\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的判定和性质、相等的垂直平分线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定，属于基础题，中考常考题型．