Question

4．如图，AB为⊙O的直径，弦BC，DE相交于点F，且DE⊥AB于点G，过点C作⊙O的切线交DE的延长线于点H．
（1）求证：HC=HF；
（2）若⊙O的半径为5，点F是BC的中点，tan∠HCF=m，写出求线段BC长的
思路．

Answer 1

分析 （1）连接OC，想办法想办法证明∠2=∠5即可．
（2）思路一：①OF过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得BC=2CF，∠OFC=90°；②由∠6与∠1互余，∠2与∠1互余可得∠6=∠2，从而可知tan∠6=m；③在Rt△OFC中，由$tan∠6=\frac{CF}{OF}=m$，可设OF=x，CF=mx，由勾股定理，得x²+（mx）²=5²，可解得x的值；④由BC=2CF=2mx，可求BC的长．
思路二：①由AB是⊙O的直径，可得△ACB是直角三角形，知∠6与∠4互余，又DE⊥AB可知∠3与∠4互余，得∠6=∠3；②由∠6=∠3，∠3=∠2，可得∠6=∠2，从而可知tan∠6=m；③在Rt△ACB中，由$tan∠6=\frac{BC}{AC}=m$，可设AC=x，BC=mx，由勾股定理，得x²+（mx）²=10²，可解得x的值；④由BC=mx，可求BC的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图1．

∵CH是⊙O的切线，
∴∠2+∠1=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠3+∠4=90°，
∵OB=OC，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠3，
又∵∠5=∠3，
∴∠2=∠5，
∴HC=HF．  

（2）求解思路如下：
思路一：连接OF，如图2．

①OF过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得BC=2CF，∠OFC=90°；
②由∠6与∠1互余，∠2与∠1互余可得∠6=∠2，从而可知tan∠6=m；
③在Rt△OFC中，由$tan∠6=\frac{CF}{OF}=m$，可设OF=x，CF=mx，由勾股定
理，得x²+（mx）²=5²，可解得x的值；
④由BC=2CF=2mx，可求BC的长．


思路二：连接AC，如图3．

①由AB是⊙O的直径，可得△ACB是直角三角形，知∠6与∠4互余，
又DE⊥AB可知∠3与∠4互余，得∠6=∠3；
②由∠6=∠3，∠3=∠2，可得∠6=∠2，从而可知tan∠6=m；
③在Rt△ACB中，由$tan∠6=\frac{BC}{AC}=m$，可设AC=x，BC=mx，
由勾股定理，得x²+（mx）²=10²，可解得x的值；
④由BC=mx，可求BC的长．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．