Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）

• A． $\frac{40}{3}$
• B． $\frac{15}{4}$
• C． $\frac{24}{5}$
• D． 6

Answer 1

分析 依据勾股定理可求得AB的长，然后在AB上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC，垂足为F，交AD与点E，先证明C′E=CE，然后可得到CE+EF=C′E+EF，然后依据垂直线段最短可知当点C′F⊥AC时，CE+EF有最小值，最后利用相似三角形的性质求解即可．

解答 解：如图所示：在AB上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC，垂足为F，交AD与点E．

在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10．
∵AC=AC′，∠CAD=∠C′AD，AE=C′E，
∴△AEC≌△AEC′．
∴CE=EC′．
∴CE+EF=C′E+EF．
∴当C′F⊥AC时，CE+EF有最小值．
∵C′F⊥AC，BC⊥AC，
∴C′F∥BC．
∴△AFC′∽△ACB．
∴$\frac{FC′}{BC}$=$\frac{AC′}{AB}$，即$\frac{FC′}{8}$=$\frac{6}{10}$，解得FC′=$\frac{24}{5}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质、勾股定理的应用、轴对称图形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．