Question

如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若四边形AEDF的周长为24，AB=15，求AC的长；
（2）求证：EF垂直平分AD．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AE=

1

2

AB，DF=AF=

1

2

AC，然后求出AE+DE=AB，再求解即可；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明．

解答：（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE=AE=

1

2

AB，DF=AF=

1

2

AC，
∴AE+DE=AB=15，AF+DF=AC，
∵四边形AEDF的周长为24，AB=15，
∴AC=24-15=9；

（2）证明：∵DE=AE，DF=AF，
∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．