Question

16．如图，将边长为2的等边三角形ABC绕点C旋转120°，得到△DCE，连接BD，则BD的长是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AD构建菱形ABCD，根据等边三角形的性质得到AB=DC=BC=DE=5，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠E=60°，推出四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质得到∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．

解答 解：连接AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE=120°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB=DC=BC=DE=5，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠E=60°，
∴∠ACE+∠ACB=120°+60°=180°，
∴B、C、E三点在一条直线上．
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵∠DBE+∠BDE+∠E=180°，
∴∠BDE=90°．
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴BE=4，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是等边三角形的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．