Question

6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论中，正确的个数是（　　）
①PM=PN；②$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，PN=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AN．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；
②先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；
③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；
④当∠ABC=45°时，可得BN=CN，在Rt△ANC中，tanA=$\frac{NC}{AN}$，可得$\frac{NC}{AN}$=$\sqrt{3}$，从而可得NC=$\sqrt{3}$，即BN=$\sqrt{3}$AN，故④错误．

解答 解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=$\frac{1}{2}$BC，PN=$\frac{1}{2}$BC，
∴PM=PN，正确；

②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，正确；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；

④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
在Rt△ANC中，
∵tanA=$\frac{NC}{AN}$，∠A=60°，
∴$\frac{NC}{AN}$=$\sqrt{3}$，
∴NC=$\sqrt{3}$，
即BN=$\sqrt{3}$AN，
∵BN=$\sqrt{2}$PN，
∴PN=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AN．故④正确．
所以正确的选项有：①②③④．
故选：D．

点评 本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．