Question

9．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移点．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，点Q运动到点C时点Q、点P都停止运动，几秒后△PBQ的面积等于8cm²？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，点Q运动到点C时点Q、点P都停止运动，是否存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm²？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
（3）如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，试求△PQD的面积y与P、Q两个点运动时的时间x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm²，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案；
（2）根据题意列出方程，应用一元二次方程根的判别式判断根的情况进行说明；
（3）根据矩形的性质和三角形面积公式列出函数关系式．

解答 解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm²，
PB=6-x，BQ=2x，
由题意得，$\frac{1}{2}$×（6-x）×2x=8，
解得x₁=2，x₂=4．
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm²；
（2）y秒后△PQD的面积等于8cm²，
AP=y，PB=6-y，BQ=2y，CQ=12-2y，
6×12-$\frac{1}{2}$×y×12-$\frac{1}{2}$×（6-y）×2y-$\frac{1}{2}$×（12-2y）×6=8，
整理得y²-6y+28=0，
△=36-4×28＜0，此方程无解，
∴不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm²；
（3）由（2）得，
y=6×12-$\frac{1}{2}$×x×12-$\frac{1}{2}$×（6-x）×2x-$\frac{1}{2}$×（12-2x）×6
=x²-6x+36．

点评 本题考查的是矩形的性质、二次函数解析式的求法，根据矩形的性质列出函数解析式是解题的关键，注意一元二次方程根的判别式的应用．