Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：

（1）∠AOC=2∠ACD；

（2）AC²=AB•AD．

Answer 1

【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）由CD是⊙O的切线得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，而利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明题目的结论；

（2）如图，连接BC．由AB是直径得到∠ACB=90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽Rt△ABC 接着利用相似三角形的性质即可解决问题．

【解答】证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，

即∠ACD+∠ACO=90°．①

∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，

∴∠AOC=180°﹣2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，

两边除以2得：∠AOC+∠ACO=90°．②

由①，②，得：∠ACD﹣∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；

（2）如图，连接BC．

∵AB是直径，∴∠ACB=90°．

在Rt△ACD与Rt△ABC中，

∵∠AOC=2∠B，

∴∠B=∠ACD，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴，即AC²=AB•AD．

【点评】本题考查了圆的切线性质，及相似三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．