Question

如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为　　　　　　．

Answer 1

　y=2x　．

【考点】相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

【专题】数形结合．

【分析】设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．

【解答】解：设OC=a，

∵点D在y=上，

∴CD=，

∵△OCD∽△ACO，

∴=，

∴AC==，

∴点A（a，），

∵点B是OA的中点，

∴点B的坐标为（，），

∵点B在反比例函数图象上，

∴=，

∴=2k²，

∴a⁴=4k²，

解得，a²=2k，

∴点B的坐标为（，a），

设直线OA的解析式为y=mx，

则m•=a，

解得m=2，

所以，直线OA的解析式为y=2x．

故答案为：y=2x．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．