Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若以CEF为顶点的△与以ABC为顶点的三角形相似且AC=3，BC=4时，则AD的长为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF=3：4，如图1所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CF：CE=3：4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点．

解答：解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF=3：4，如图1所示．
∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴cosA=

AC

AB

=

3

5

，
∴AD=AC•cosA=3×

3

5

=1.8；
②若CF：CE=3：4，如图2所示．
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，
∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴D点为AB的中点，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×5=2.5．
综上所述，AD的长为1.8或2.5．
故答案为1.8或2.5．

点评：本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，难度适中．运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．