Question

7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，顺次连接各边中点得正方形A₁B₁C₁D₁，又依次连接正方形A₁B₁C₁D₁各边中点得正方形A₂B₂C₂D₂，以此规律已知作下去，那么正方形A₈B₈C₈D₈的周长是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点的正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A₈B₈C₈D₈的周长．

解答 解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A₁B₁C₁D₁，则得正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，即$\frac{1}{2}$，则周长是正方形ABCD的$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
顺次连接正方形A₁B₁C₁D₁中点得正方形A₂B₂C₂D₂，则正方形A₂B₂C₂D₂的面积为正方形A₁B₁C₁D₁面积的一半，即正方形ABCD的$\frac{1}{4}$，则周长是正方形ABCD的$\frac{1}{2}$；
顺次连接正方形A₂B₂C₂D₂得正方形A₃B₃C₃D₃，则正方形A₃B₃C₃D₃的面积为正方形A₂B₂C₂D₂面积的一半，即正方形ABCD的$\frac{1}{8}$，则周长是正方形ABCD的$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
顺次连接正方形A₃B₃C₃D₃中点得正方形A₄B₄C₄D₄，则正方形A₄B₄C₄D₄的面积为正方形A₃B₃C₃D₃面积的一半，即正方形ABCD的$\frac{1}{16}$，则周长是正方形ABCD的$\frac{1}{4}$；
…
故第n个正方形周长是原来的$\sqrt{\frac{1}{{2}^{n}}}$，
以此类推：正方形A₈B₈C₈D₈周长是原来的$\frac{1}{16}$，
∵正方形ABCD的边长为2，周长为8，
∴按此方法得到的四边形A₈B₈C₈D₈的周长为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．