Question

2．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是50度．
（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解，②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠A=40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM=90°，
∴∠NMA=50°，
故答案为：50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8，△MBC的周长是14，
∴BC=14-8=6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．

点评 本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．