Question

11．在△ABC中，AB=AC，D在AC上，AE=AC交BD的延长线于点E，AF平分∠CAE交BE于F
（1）如图1，连CF，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请写出AF、EF、BF的数量关系，不需证明；
（3）如图3，若∠BAC=90°，且BD平分∠ABC，求证：BD=2EF．

Answer 1

分析 （1）由于AB=AE，因此只需证△FAE≌△FAC即可；
（2）在BF上截取BG=EF，再证AF=GF即可，也就是证三角形AFG是等边三角形即可，由所给条件结合（1）中结论可知AF=CF=EF，结论显然；
（3）由（1）中结论可知∠ABE=∠ACF，从而马上可得∠BFC=90°，延长CF交BA于点H，则由三线合一可知CH=2CF=2EF，因此只需证BD=CH即可，也就只需证△ABD与△ACH全等，结论显然．

解答 解：（1）∵AB=AC，AE=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵AF平分∠CAE交BE于F，
∴∠FAE=∠FAC，
在△FAE和△FAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FA}\\{∠FAE=∠FAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠AEF=∠ABE；
（2）在BD上截取BG=EF，连接CF，如图2，

在△ABG和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=EA}\\{∠ABG=∠AEG}\\{BG=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AEF（SAS），
∴AG=AF，
∵BA=BC，BD平分∠ABC，
∴BD垂直平分AC，∠ABG=∠AEF=30°
∴FA=FC，
∵FC=FE，
∴AF=EF，
∴AG=BG，
∴∠AGF=∠AFG=60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴AG=GF=AF，
BF=BG+GF=AF+EF；
（3）连接CF并延长交BA于点H，如图3，

∵∠ABD=∠ACF，∠BAD=90°，
∴∠CFD=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴CF=FH，
在△ABD和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAH}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACH}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACH（ASA），
∴BD=CH=2CF=2EF．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，难度中等．解答本题的关键在于识别和构造全等三角形并寻找全等的条件，注意三线合一等常见结论的应用．