Question

19．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；
①∠CDH=30°；
②EF=4；
③四边形EFCH是菱形；
④S_△EFC=3S_△BEC．
你认为结论正确的有①②③．（填写正确的序号）

Answer 1

分析 ①证出四边形ABHD是矩形，得出BH=AD=2，AB=DH，求出CH=BC-BH=4，得出CH=$\frac{1}{2}$CD，得出∠CDH=30°，①正确；
②由梯形中位线定理得出EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=4，②正确；
③证出四边形EFCH是平行四边形，再由EF=CF=4，得出四边形EFCH是菱形；④正确；求出S_△EFC=2S_△BEH．④错误；即可得出结论．

解答 解：①∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH=AD=2，AB=DH，
∴CH=BC-BH=6-2=4，
∵CD=8，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠CDH=30°；①正确；

②∵E，F分别是边AB、CD的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=4，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=4，②正确；

③∵EF∥BC，EF=CH=4，
∴四边形EFCH是平行四边形，
又∵EF=CF=4，
∴四边形EFCH是菱形；③正确；

④∵EF=4，BH=2，
∴S_△EFC=2S_△BEH．④错误；
故选：①②③．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、梯形中位线定理、平行四边形的判定以及三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度．