Question

1．如图，∠B=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD=2$\sqrt{3}$，且AB、AE的长是关于x的方程x²-8x+k=0的两个实数根．
（1）求⊙O的半径．
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理得出AB•AE的长=12，进而得出k的值，设半径的长为r，再代入切线长定理解答即可；
（2）根据切线长定理，即可得出CD=CB，由勾股定理得CD的长即可．

解答 解：（1）连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，
∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，
∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
∴AB•AE=$A{D}^{2}=（2\sqrt{3}）^{2}=12$，
∵AB、AE的长是关于x的方程x²-8x+k=0的两个实数根，
∴k=12，
解方程x²-8x+12=0得：两个实数根为：2和6，
∴设半径的长为r，
可得半径r=$\frac{1}{2}$×（6-2）=2；
（2）∵∠B=90°，
∴CB为⊙O切线，
∴CD=CB，
∴CB²+AB²=AC²，
∴CD²+6²=（2$\sqrt{3}$+CD）²，
∴CD=2$\sqrt{3}$．
答：CD的长度为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，以及相似三角形、勾股定理和切线长定理，要注意知识点之间的综合运用．