Question

2．数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为30°，已知BE=2m，此学生身高CD=1.7m，求大树的高度．（结果保留根号）

Answer 1

分析 根据题意结合坡度的定义得出C到AB的距离，进而利用锐角三角函数关系得出AB的长．

解答 解：如图所示：过点C作CG⊥AB延长线于点G，交EF于点N，
由题意可得：$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{4}$=$\frac{EF}{8}$，
解得：EF=2，
∵DC=1.7m，
∴FN=1.7m，
∴BG=EN=0.3m，
∵GN=EB=2m，
∴CG=CN+NG=10m，
在Rt△ACG中，tan30°=$\frac{AG}{CG}$，
∴AG=CG•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$
则AB=AG-BG=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$-$\frac{3}{10}$=$\frac{100\sqrt{3}-9}{30}$（m），
答：大树高度AB为$\frac{100\sqrt{3}-9}{30}$m．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡度的定义，正确得出C到AB的距离是解题关键．