Question

已知二次函数y=ax²-2bx+c图象如图．
（1）判定a、c的符号为a

 

0，c

 

0，若b=2a，则二次函数的对称轴为直线x=

 

；
（2）当a=1时，二次函数图象交x正半轴交于A、B（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为M，若△BOC、△ABM均为等腰直角三角形，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，点N为直线y=1上在y轴左侧的一个动点，若以N为圆心，NO为半径的⊙N恰好与直线AC相切，求N的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线开口向上得a＞0，令x=0，y=c，从函数y=ax²-2bx+c图象得出c＞0，把b=2a代入二次函数解析式得出对称轴，
（2）先把a=1代入二次函数y=ax²-2bx+c得出y=x²-2bx+c，求出点A，B及顶点的坐标，由△BOC为等腰直角三角形，得出c=2b-1，由△ABM为等腰直角三角形，得出△AFM为等腰直角三角形，得到b²-c=1，解出b，c即可．
（3）设N的坐标为（a，1），求出NP=

2

3

-a，NO=NH=

a2+1

，利用△NHP∽△COA，列出比例式求出a的值，即可得到N的坐标．

解答：解：（1）由抛物线开口向上得a＞0，
令x=0，y=c，从函数y=ax²-2bx+c图象得出c＞0，
当b=2a，二次函数y=ax²-4ax+c=a（x-2）²+c-4a，所以二次函数的对称轴为直线x=2，
故答案为：＞，＞，2．
（2）∵a=1，
∴二次函数y=ax²-2bx+c解析式为：y=x²-2bx+c，
令y=0，得x²-2bx+c=0，解得x=b±

b2-c

，
∴A（b-

b2-c

，0），B（b+

b2-c

，0），
顶点为M（b，c-b²），
∵△BOC为等腰直角三角形，
∴c=b+

b2-c

，即c=2b-1，
如图1，作y=x²-2bx+c的对称轴，交x轴于点F，

∵△ABM为等腰直角三角形，
∴△AFM为等腰直角三角形，
∴AF=FM，即

b2-c

=b²-c，
∴b²-c=0（求出来的b=1，c=1，顶点在x轴上故舍去）或b²-c=1
解方程组

c=2b-1 b2-c=1

，得

b=2 c=3

或

b=0 c=-1

（舍去），
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+3．
（3）如图2，点H为切点，AC交y=1于点P，设N的坐标为（a，1），

∵二次函数的解析式为y=x²-4x+3．
∴A（1，0），C（0，3），
设AC的解析式为y=kx+b，
∴y=-3x+3，
当y=1时，代入y=-3x+3，得x=

2

3

，
∴P（

2

3

，1），
∴NP=

2

3

-a，
∵NO为半径，
∴NO=NH=

a2+1

，
∵∠NPH=∠CMO，∠NHP=∠COM=90°，
∴△NHP∽△COA，
∴

NP

AC

=

NH

CO

，即

2 3 -a

10

=

a2+1

3

，
解得a=-6±3

3

，
∴N₁（-6+3

3

，1），N₂（-6-3

3

，1）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及二次函数，方程及相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用等腰直角三角形正确的求出二次函数的解析式．