Question

8．如图，四边形ABCD和AEGF都是菱形，∠A=60°，AD=3，点E，F分别在AB，AD边上（不与端点重合），当△GBC为等腰三角形时，AF的长为3-$\sqrt{3}$或2．

Answer 1

分析 分两种情形：①如图1中，当CB=CG时，连接BD交AC于点O，②如图2中，当GC=GB时，作GM⊥BC于M，先证明AC=$\sqrt{3}$AD，AG=$\sqrt{3}$AF，求出AG即可解决问题．

解答 解：①如图1中，当CB=CG时，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=3，AO=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，AC=$\sqrt{3}$AD，同理AG=$\sqrt{3}$AF，
∴AC=3$\sqrt{3}$，AG=AC-CG=3$\sqrt{3}$-3，
∴3$\sqrt{3}$-3=$\sqrt{3}$AF，
∴AF=3-$\sqrt{3}$．
②如图2中，当GC=GB时，作GM⊥BC于M，
在RT△GCM中，∵∠GMC=90°，CM=BM=$\frac{3}{2}$，∠GCM=30°
∴CG=$\frac{CM}{cos30°}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AG=AC-CG=2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$AF，
∴AF=2．
故答案为3-$\sqrt{3}$或2．

点评 本题考查菱形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，属于中考常考题型．