Question

8．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H=∠BCF，求证：GD²=GF•GH．

Answer 1

分析 先证△CGD∽△DGB，推出DG²=BG•CG，再证△CGF∽△HGB得到比例式，推出GF•GH=BG•GC，即可求出答案．

解答 证明：∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ABC=90°，
∵∠H=∠BCF，
∴∠H+∠HBC=90°，
∴HG⊥BC，
∵BD⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DGC=∠DGB=90°，∠CDB=90°，
∴∠DCG+∠CDG=90°，∠CDG+∠BDG=90°，
∴∠DCG=∠BDG，
∵∠DGC=∠DGB，
∴△CGD∽△DGB，
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{CG}{DG}$，
∴DG²=BG•CG，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠CBE=90°，
又∠H+∠GBH=90°，
∴∠ECB=∠H，
∠FGC=∠HGB=90°，
∴△CGF∽△HGB，
∴$\frac{GF}{GB}=\frac{CG}{GH}$，
∴GF•GH=BG•GC，
∴GD²=GF•GH．

点评 本题主要考查对相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出DG²=BG•CG和GF•GH=BG•GC是解此题的关键．