Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，AD平分∠CAE，易证得∠B=∠DAG=$\frac{1}{2}$∠CAG，继而证得结论；
（2）由CG⊥AD，AD平分∠CAE，易得CF=GF，然后由AD∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠DAG=$\frac{1}{2}$∠CAG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠CAG=∠B+∠ACB，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠CAG，
∴∠B=∠DAG，
∴AD∥BC；

（2）解：方法一：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAF=∠GAF，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAH=∠HAC，BH=HC，
∴∠HAC+∠CAF=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
又∵∠AFC=∠AHC=90°
∴四边形CHAD是矩形，
∴AF=HC=4，
∴BC=2HC=8．
方法二：∵CG⊥AD，
∴∠AFC=∠AFG=90°，
在△AFC和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠GAF}\\{AF=AF}\\{∠AFC=∠AFG}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AFG（ASA），
∴CF=GF，
∵AD∥BC，
∴△AGF∽△BGC，
∴GF：GC=AF：BC=1：2，
∴BC=2AF=2×4=8．

点评 此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△AGF∽△BGC是关键．