Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，b＜0）的图象与x轴、y轴都只有一个公共点，分别为A，B，且AB=2，b+2ac=0．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y=x+k的图象过点A，并和二次函数的图象相交于另一点C，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）利用函数图象得出b²-4ac=0，进而由b+2ac=0求出ac的值，进而利用AB=2求出即可；
（2）利用两函数交点坐标求法得出C点坐标，进而求出三角形面积．

解答：解：（1）∵抛物线与X轴只有一个公共点，
∴b²-4ac=0，
而b+2ac=0，
∴b²+2b=0，∴b=-2，b=0（舍去），
∴ac=1
∵抛物线的对称轴是x=-

b

2a

，
∵b+2ac=0，
∴b=-2ac，
∴x=c，即A（c，0）
∵B（0，c），∴AB=

2

c=2，∴c=

2

，∴a=

2

2

∴二次函数的解析式为：y=

2

2

x²-2x+

2

；

（2）∵y=x+k过点A（

2

，0），
∴y=x-

2

，
则x-

2

=

2

2

x²-2x+

2

，
解得：x₁=2

2

，x₂=

2

（舍去），
当x=2

2

，y=

2

，
则C点坐标为：（2

2

，

2

），
S_△ABC=

1

2

×BC×y_C=

1

2

×2

2

×

2

=2．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点以及三角形面积求法，得出C点坐标是解题关键．