Question

19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，CD交OB于点E．DF⊥AC于点F，交AO于点G．
（1）求证：△EDG∽△EAD；
（2）若EG=10，EA=16，求⊙O的半径
（3）求证：DF=BC+AF．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等证明两三角形相似；
（2）作高线ME，先利用三角形相似求DE的长，由△DME是等腰直角三角形，分别求DM、ME、MG的长，因此得到DG的长，由（1）中的两三角形相似列比例式可求得AD的长，从而得到圆的直径，即可得到圆的半径长；
（3）如图2，作辅助线，构建两三角形全等，证明Rt△ADF≌Rt△BDH（HL），可得结论．

解答 证明：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠EDG=45°，
∵∠DAB=∠DCB=45°，
∴∠DAB=∠EDG，
∵∠DEG=∠DEA，
∴△EDG∽△EAD；

（2）如图1，∵△EDG∽△EAD，
∴$\frac{ED}{EA}=\frac{EG}{ED}=\frac{DG}{AD}$，
∵EG=10，AE=16，
∴ED²=10×16=160，
∴ED=$±4\sqrt{10}$，
∴$\frac{DG}{AD}=\frac{4\sqrt{10}}{16}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
过E作EM⊥DF于M，
∴△DME是等腰直角三角形，
∴DM=EM=$\frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{5}$，
在Rt△MGE中，MG=$\sqrt{1{0}^{2}-（4\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴DG=DM+MG=6$\sqrt{5}$，
∴$\frac{DG}{AD}=\frac{6\sqrt{5}}{AD}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴AD=12$\sqrt{2}$，
∵∠ACD=∠DCB=45°，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∵∠ADB=90°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$×$12\sqrt{2}$=24，
∴⊙O的半径是12；

（3）如图2，过D作DH⊥CB，交CB的延长线于H，
∵∠DFC=∠ACB=∠H=90°，
∴四边形DFCH是矩形，
∵DF=FC，
∴矩形DFCH是正方形，
∴DF=FC=CH=DH，
∵AD=BD，
∴Rt△ADF≌Rt△BDH（HL），
∴DF=CH=BC+BH=BC+AF．

点评 本题考查了圆周角定理、三角形相似和全等的性质和判定、勾股定理、正方形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，构建辅助线是关键，利用相似和等腰直角三角形依次求边长，从而得结论，第三问是常考题型，构建两三角形全等是关键．