Question

11．已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴交与点E，已知点B（-1，0）．
（1）点A的坐标：（1，2$\sqrt{3}$），点E的坐标：（0，$\sqrt{3}$）；
（2）若二次函数y=-$\frac{6\sqrt{3}}{7}$x²+bx+c过点A、E，求此二次函数的解析式；
（3）P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）连结PB、PD，设l是△PBD的周长，当l取最小值时，求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．

Answer 1

分析 （1）△ABC是边长为4的等边三角形，则BC=4，而点D为BC的中点，BD=2，点B（-1，0），则OD=1，就可以求出A的横坐标，等边三角形的高线长，就是A的纵坐标．在直角三角形OBE中，根据三角函数可以求出OE的长，即得到E点的纵坐标．
（2）已经求出A，E的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（3）先作点D关于AC的对称点D'，连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值．根据三角函数求的D′的坐标，再求出直线BD′的解析式，以及直线AC的解析式，两直线的交点就是P的坐标．把点P的坐标代入二次函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上．

解答 解：（1）连接AD，如图1，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，又B的坐标为（-1，0），BC在x轴上，A在第一象限，
∴点C在x轴的正半轴上，
∴C的坐标为（3，0），由中点坐标公式，得：D的坐标为（1，0）．
显然AD⊥BC且AD=$\sqrt{3}$BD=2$\sqrt{3}$，
∴A的坐标是（1，2$\sqrt{3}$）．
OE=$\frac{1}{2}$AD，得E（0，$\sqrt{3}$）；
（2）因为抛物线y=-$\frac{6\sqrt{3}}{7}$x²+bx+c过点A、E，
由待定系数法得：c=$\sqrt{3}$，b=$\frac{13\sqrt{3}}{7}$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{6\sqrt{3}}{7}$x²+$\frac{13\sqrt{3}}{7}$x+$\sqrt{3}$；
（3）作点D关于AC的对称点D'，
连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，
即△PBD的周长L取最小值，如图2．
∵D、D′关于直线AC对称，
∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，
DF=$\sqrt{3}$，DD'=2$\sqrt{3}$，
求得点D'的坐标为（4，$\sqrt{3}$），
直线BD'的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
直线AC的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
求直线BD'与AC的交点可，得
点P的坐标（$\frac{7}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
此时BD'=$\sqrt{B{G}^{2}+D′{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
所以△PBD的最小周长L为2$\sqrt{7}$+2，
把点P的坐标代入y=-$\frac{6\sqrt{3}}{7}$+$\frac{13\sqrt{3}}{7}$x+$\sqrt{3}$成立，
所以此时点P在抛物线上．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数的解析式，求两条线段的和最小的问题，一般是转化为两点之间线段最短的问题．