题目内容
【题目】我们定义：将一个图形绕某一定点按某一方向旋转一定的角度（旋转角度小于等于360°），并且各边长伸缩相同的倍数得到另一个图形，如图①，这种变换叫做旋转伸缩变换，其中定点叫做旋转中心，对应边的比叫做伸缩比．
（特例感知）
（1）如图①，
是等边三角形，绕点A作旋转伸缩变换得
，连接
，
①若
，则旋转角的度数为________；
②若伸缩比为2∶1，则线段的数量关系为________；
③直线
与直线
所夹的锐角为________；
（探究证明）
（2）如图②，在
中，
，将绕点A逆时针方向旋转一定的角度，作旋转伸缩变换得到，连接、，直线与直线相交于点P，请判断
的值及
的度数，并说明理由；
（问题解决）
（3）在（2）的条件下，若
，求当点
与点P重合时，的长．
【答案】（1）①50°或310°；②
；③60°；（2）
，理由见解析；（3）
的长为
或
．
【解析】
解：
【解法提示】①如题图①，∵
，
∴
．
∴旋转角的度数为50°或310°；
②∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴；
③如图①，延长，交
于点P，交
于点O，
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
即直线与直线所夹的锐角为60°；
图①
（2）；
理由如下：
如图②，在
中，
，
∴
．
由旋转伸缩变换得：
，
∴
．
∵
，
∴．
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
，即
．
图②
（3）①当点
与点P重合时，如图③，
图③
由（2）知
，
∴设
，则
．
在
中，
，
∴
．
中，
，
∴
．
在
中，由勾股定理得：
，
解得
（舍去），
∴
；
②当点与点P重合时，如图④，
图④
由（2）知，
，
∴设，则．
中，，
∴
．
在中，由勾股定理得：
，
解得
（舍去），
，
∴
．
综上所述，当点与点P重合时，的长为或．
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