Question

【题目】如图所示，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点P是边BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作∠BPF，使得∠BPF=∠ACB，BG⊥PF于点F，交AC于点G，PF交BD于点E，给出下列结论，其中正确的是（ ）

①；②PE=2BF；③在点P运动的过程中，当GB=GP时，；④当P为BC的中点时，．

A.①②③B.．①②④C.②③④D.．①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①过G作GH⊥AB交于H点，得△BHG≌△BOG，HG=OG，解等腰直角三角形得；

②首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM＝PE，BF＝BM，则可求得PE=2BF；

③过P作PQ∥AC交BG于M，交BO于N，根据等腰直角三角形ABO的性质，可得，根据条件证得△PFG为等腰直角三角形，同理可证得，由即可证明；

④连接OP，则OP⊥BC，易知，根据①得，由△BEF∽△BGO，得，进而得，进而，整理即可求出结果．

①过G作GH⊥AB交于H点，

∵正方形ABCD，AC为对角线，

∴AG=GH，

∵，，

∴△BHG≌△BOG，

∴HG=OG，

∴；

故①正确；

②如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB．
∵∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠NBP＝∠NPB．
∴NB＝NP．
∵∠MBN＝90°∠BMN，∠NPE＝90°∠BMN，
∴∠MBN＝∠NPE，
在△BMN和△PEN中，
∠MBN＝∠NPE，NB＝NP，∠MNB＝∠PNE＝90°，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM＝PE，
∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，
∴∠BPF＝∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP＝∠MFP＝90°．
在△BPF和△MPF中，∠BPF＝∠MPF，PF＝PF，∠PFB＝∠PFM，
∴△BPF≌△MPF（ASA）．
∴BF＝MF，
即BF＝BM
∴BF＝PE，即PE＝2BE；
故②正确；

③过P作PQ∥AC交BG于M，交BO于N，

易知三角形ABO为等腰直角三角形，

设OG=x，则AG=，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴△GFP为等腰直角三角形，

同理，设MF=x，结合（1）的结论，

∴，

由（2）得，，

∴，

故③正确；

④连接OP，则OP⊥BC，

由（2）（3）可知，被均等分为四份，

∴，

由（1）可知，，

∵，，

∴△BEF∽△BGO，

∴，

∵，

∴

∴，

∴，

∴，

∴，

故④错误；

故选：A．