Question

1．如图，扇形OAB的圆心角为90°，C、D是$\widehat{AB}$的三等分点，AB与OC、OD分别相交于点E、F．指出图中与AE相等的线段，并说明理由．

Answer 1

分析 连接AC，BD，先根据∠AOB=90°，再由C、D为弧AB的三等分点可求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°；根据三角形外角的性质得出∠OEF=∠OFE=75°，根据三角形内角和定理即可得出∠ACO=75°，可得AE=AC，再由C、D为弧AB的三等分点可求出AC=CD=BD，可得出CD=AE=BF．

解答 解：CD=AE=BF，
理由：连接AC，BD，
∵在⊙O中，∠AOB=90°，C、D为弧AB的三等分点，
∴∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∵∠AEC=∠BFD=75°，
∵∠AOC=30°，OA=OC，
∴$∠ACO=∠CAO=\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠ACO=∠AEC=75°，
∴AE=AC，
同理：BF=BD，
∵C、D是$\widehat{AB}$的三等分点，
∴AC=CD=BD，
∴CD=AE=BF．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．