Question

4．如图，直线y=kx+b（k≠0），与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于第一象限内的A、B两点，已知点A的坐标为（3，4），OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=$\frac{1}{3}$．
（1）求点B的坐标．
（2）直接写出使不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0成立的正整数x的值．

Answer 1

分析 （1）将点A坐标（3，4）代入反比例函数解析式y=$\frac{m}{x}$，求出m的值，过B作BC⊥x轴于点C．在Rt△BOC中，由tanα=$\frac{1}{3}$，可设B（3h，h）．将B（3h，h）代入y=$\frac{12}{x}$，求出h的值，即可得到点B的坐标；
（2）不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0成立时即一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，写出自变量x的取值范围进而求解即可．

解答 解：（1）将点A坐标（3，4）代入反比例函数解析式y=$\frac{m}{x}$，
得m=3×4=12，
则y=$\frac{12}{x}$．
过B作BC⊥x轴于点C．
∵在Rt△BOC中，tanα=$\frac{1}{3}$，
∴可设B（3h，h）．
∵B（3h，h）在反比例函数y=$\frac{12}{x}$的图象上，
∴3h²=12，解得h=±2，
∵h＞0，∴h=2，
∴B（6，2）；

（2）当x＞0时，由图象得不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0成立时，3＜x＜6，
所以满足条件的正整数x的值是4，5．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数的解析式，正切函数的定义，难度适中，利用数形结合是解题的关键．