Question

13．如图：△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（3）如图b所示，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AEB≌△ADC；
（2）四边形BCGE是平行四边形，因为△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE=∠C=60°，进而证明∠ABE=∠BAC，则可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四边形BCGE是平行四边形；
（3）与（1）一样可证得△ABE≌△ADC，得到BE=CD；与（1）一样可证得四边形BCGE为平行四边形，根据菱形的判定方当BC=BE时，四边形BCGE是菱形，此时BC=CD，所以有DC=BC时，四边形BCGE是菱形．

解答 证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；

（2）由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC，
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形；

（3）当点D运动到DC=BC时，四边形BCGE是菱形．理由如下：
与（1）一样可证得△ABE≌△ADC，则BE=CD；
与（1）一样可证得四边形BCGE为平行四边形，
∴当BC=BE时，四边形BCGE是菱形，
此时BC=CD，
即当DC=BC时，四边形BCGE是菱形

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，解题的关键是能够熟练掌握菱形的判定定理，题目的综合性不小，难度不大．