Question

8．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径⊙O交BC边于D点，过D点作⊙O的切线交AC边于E点，又过E点作EF∥AB交BC于F点．若AB=20，CD=9，则OF=$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 首先连接AD，由射影定理得AB²=BD•BC，易得BD，得BC，由勾股定理得AC，由切线长定理得AE=DE，易得E为AC的中点，EF为△ABC的中位线，证得四边形AEFO为矩形，得OF=AE=$\frac{1}{2}AC$．

解答 解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴AB²=BD•BC，
设BD=x，则BC=9+x，
∴20²=x•（x+9），解得：x₁=-25（不合题意，舍去），x₂=16，
∴BD=16，
∴BC=25，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15，
∵DE为⊙O的切线，
∵∠BAC=90°，
∴AC为⊙O的切线，
∴DE=AE，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠EAD+∠C=90°，∠EDA+∠CDE=90°，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE，
∴E为AC的中点，
∵EF∥AB，
∴F为BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}AB$=AO，
∴四边形AEFO为矩形，
∴OF=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{15}{2}$，
故答案为：$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查了切线的性质及判定，三角形中位线的性质，证得四边形AEFO为矩形是解答此题的关键．