Question

17．已知在平面直角坐标系中，一次函数y=$\frac{3}{4}$x+3的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数y=$\frac{3}{2}$x的图象x＞0的那部分上，且MO=MA（O为坐标原点）．
（1）求线段AM的长；
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点M关于y轴的对称点M′，求反比例函数解析式，并直接写出当x＞0时，$\frac{3}{4}$x+3与$\frac{k}{x}$的大小关系．

Answer 1

分析 （1）求出点A为（0，3），设M的坐标为（m，$\frac{3}{2}$m），根据勾股定理求出MA²与MO²，列出方程求出m的值即可．
（2）求出M′的坐标，求出反比例函数的解析式，然后求出两图象的交点坐标后即可判断$\frac{3}{4}$x+3与$\frac{k}{x}$的大小关系

解答 解：（1）令x=0代入y=$\frac{3}{4}$x+3中，
∴y=3，
∴A（0，3）
设M（m，$\frac{3}{2}$m），其中m＞0，
∴由勾股定理可知：MO²=m²+$\frac{9}{4}$m²=$\frac{13}{4}$m²，
MA²=m²+（$\frac{3}{2}$m-3）²，
∵MA=MO，
∴$\frac{13}{4}$m²=m²+（$\frac{3}{2}$m-3）²，
∴m=1，
∴M（1，$\frac{3}{2}$），
由勾股定理可知：AM=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$
（2）由题意可知：M′（-1，$\frac{3}{2}$）
将M′（-1，$\frac{3}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$
∴k=-$\frac{3}{2}$
∴联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2x}}\\{y=\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$
解得：x=-2$±\sqrt{2}$
当x＞0时，$\frac{3}{4}$x+3＞-$\frac{3}{2x}$

点评 本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，解题的关键是根据勾股定理求出M的坐标，本题属于中等题型．