Question

7．如图，已知Rt△ADE与等腰Rt△ABC有公共顶点A，其中∠E=30°，∠EAC=15°现将△ADE绕着点A逆时针旋转α°（0°＜α＜180°）得到△AMN．其中直线AM，直线MN分别与直线BC相交于K，L两点，当∠α=15°或60°或330°时．△MKL为等腰三角形．

Answer 1

分析 分三种情况进行讨论计算，三种情况的处理方法类似，先求出∠AKC，再在△ACK中，利用内角和定理求出∠CAK，即可求出∠α．

解答 解：如图1，

∵△MKL为等腰三角形．
①当MK=ML时，即：∠MKL=∠MLK，
∵∠M=∠E=30°，
∴∠MKL=∠MLK=75°，
在△ACK中，∠ACB=45°，
∴∠MAC=180°-∠AKC-∠ACB=180°-（180°-∠MKL）-∠ACB=180°-（180-75°）-45°=30°，
∵∠EAC=15°，
∴∠α=∠EAM=15，
②如图2，

当KM=KL时，
∵∠KLM=∠M=∠E=30°，
∴∠AKC=60°，
在△ACK中，∠ACB=45°，
∴∠MAC=180°-∠AKC-∠ACB=180°-60°-45°=75°，
∵∠EAC=15°，
∴∠α=∠EAM=60°，
③如图3，
当LK=LM时，
∴∠MKL=∠M=∠E=30°，
∴∠AKB=30°，
∴∠CAM=∠ACB-∠AKB=45°-30°=15°，
∵∠EAC=15°，
∴∠EAM=30°，
∴∠α=360°-∠EAM=360°-30°=330°．
即：∠α=15°或60°或330°，
故答案为：15°或60°或330°．

点评 此题是旋转的性质，主要考查了旋转前后对应角相等，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠AKE．