Question

16．如图所示，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过圆心O作OG∥BD，交过点A所作⊙O的切线于点G，连结GD并延长与AB的延长线交于点E．
（1）求证：GD是⊙O的切线；
（2）试判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由AG是过点A的切线，AB是⊙O的直径，得到∠GAB=90°，由于OG∥BD，得到∠AOG=∠OBD，∠DOG=∠ODB．由等量代换得到∠AOG=∠DOG，证得△AOG≌△DOG，得到OD⊥DE即可证得GD是⊙O的切线；
（2）由（1）知，OD⊥DE，即∠ODC+∠EDF=90°，由OC=OD，得到∠C=∠ODC，∠EDF+∠C=90°，而OC⊥OB，证得∠EDF=∠DFE，即可得到结果
（3）在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，由于OD²+DE²=OE²，得到∴DE=4，OE=5，根据AG为⊙O的切线，得到∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，推出Rt△EOD∽Rt△EGA，得到比例式即可得到结果．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵AG是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴AG⊥AB，
∴∠GAB=90°，
∵OG∥BD，
∴∠AOG=∠OBD，∠DOG=∠ODB．
∵OC=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠AOG=∠DOG，
在△AOG和△DOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOG=∠DOG}\\{OG=OG}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△DOG，
∴∠ODG=∠GAB=90°，即OD⊥DE
∵OD是⊙O的半径，
∴GD是⊙O的切线；                                 

（2）解：△DEF是等腰三角形．理由如下：
由（1）知，OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠ODC+∠EDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠EDF+∠C=90°，
而OC⊥OB，
∴∠C+∠OFC=90°，
∴∠OFC=∠EDF，
∵∠DFE=∠OFC，
∴∠EDF=∠DFE，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（3）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=OE²，
∴3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
∵DE=EF，
∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴$\frac{OD}{AG}=\frac{DE}{AE}$，即$\frac{3}{AG}=\frac{4}{3+5}$，
∴AG=6．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．