Question

6．如图，抛物线y=ax²+4x+c（a≠0）与直线y=x-1交于A、B两点，点A的横坐标为-3，B在y轴上，P点是第三象限内抛物线上一动点，横坐标为m，过P作PC⊥x轴于C，交直线AB于点D．
（1）求a和c；
（2）当△PAD为直角三角形时，求出点P的坐标；
（3）是否存在点P，使S_△PBD：S_{四边形OBDC}=1：2？若存在，直接写出P点横坐标m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A横坐标代入y=x-1，得出点A纵坐标，再将x=0代入y=x-1，得出点B坐标，把点A，B坐标代入抛物线解析式，从而得出a与c的值；
（2）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，根据比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解；
（3）存在点P，使S_△PBD：S_{四边形OBDC}=1：2，连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，由此表示出S_{四边形OBDC}和2S_△BPD建立方程求出其解即可．

解答 解：（1）∵点A的横坐标为-3，点A在直线y=x-1上，
∴点A的纵坐标为-4，
∵B在y轴上，
∴点B的坐标为（0，-1），
把点A和点C的坐标分别代入抛物线y=ax²+4x+c（a≠0）得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4=9a-12+c}\\{-1=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$；
（2）如图2，当∠APD=90°时，设P（m，m²+4m-1），则D（m，m-1），
∴AP=m+3，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴DP=1-4m-m²-1+m=-3m-m²．
在y=x-1中，当y=0时，x=1，
∴F（1，0），
∴OF=1，
∴CF=1-m．AF=4$\sqrt{2}$．
∵PC⊥x轴，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
∴$\frac{AP}{CF}=\frac{DP}{CD}$，
∴$\frac{m+3}{1-m}=\frac{-3m-{m}^{2}}{1-m}$，
解得：m=-1或m=-3（舍去），
∴P（-1，-4）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°，CE=m+3，EF=4，AF=4$\sqrt{2}$，PD=m-1-（-1+4m+m²）=-3m-m²．
∵PC⊥x轴，
∴∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD，
∴$\frac{4}{3+m}=\frac{4\sqrt{2}}{AD}$，
∴AD=$\sqrt{2}$（3+m）．
∵△PAD∽△FEA，
∴$\frac{PD}{FA}$=$\frac{AD}{AE}$，
$\frac{-3m-{m}^{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}（3+m）}{4}$，
∴m=-2或m=-3（舍去），
∴P（-2，-5），
当∠APD=90°时，
∴点A与点P关于对称轴对称
∵A（-3，-4）
∴P（-1，-4）
综上，存在点P（-2，-5）或P（-1，-4）使△PAD是直角三角形；
（3）存在点P，使S_△PBD：S_{四边形OBDC}=1：2，理由如下：
∵P点横坐标是m（m＜0），
∴P（m，m²+4m-1），D（m，m-1），
如图1①，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴PD=1-4m-m²-1+m=-3m-m²，
∴$\frac{-m（1+1-m）}{2}$=2×$\frac{-m（-3m-{m}^{2}）}{2}$，
解得：m₁=0（舍去），m₂=-2，m₃=-$\frac{1}{2}$；
如图1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
PD=m²+4m-1+1-m=3m+m²，
∴$\frac{-m（1+1-m）}{2}$=2×$\frac{-m（{m}^{2}+3m）}{2}$，
解得：m=0（舍去）或m=$\frac{-7+\sqrt{65}}{4}$（舍去）或m=$\frac{-7-\sqrt{65}}{4}$
∴m=-$\frac{1}{2}$，-2或$\frac{-7-\sqrt{65}}{4}$时，使S_△PBD：S_{四边形OBDC}=1：2．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点．