如图.在平面直角坐标系中.直线AB:$y=-\frac{1}{2}x+b$分别与x轴.y轴交于点A.B.$AB=2\sqrt{5}$．(1)求b的值．(2)动点C从A点出发以2个单位/秒的速度沿x轴的正半轴运动.动点D从B点出发以1个单位/秒的速度沿y轴的正半轴运动．运动时间为t.过A作x轴的垂线交直线CD于点P.过P作y轴的垂线交直线AB于点F.设线段BF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：$y=-\frac{1}{2}x+b$分别与x轴、y轴交于点A、B，$AB=2\sqrt{5}$．
（1）求b的值．
（2）动点C从A点出发以2个单位/秒的速度沿x轴的正半轴运动，动点D从B点出发以1个单位/秒的速度沿y轴的正半轴运动．运动时间为t（t＞0），过A作x轴的垂线交直线CD于点P，过P作y轴的垂线交直线AB于点F，设线段BF的长为d（d＞0），求d与t的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，2为半径作⊙A，过点C作不经过第三象限的直线l与⊙A相切，切点为Q，直线l与y轴交于点E，作QH⊥AE于H，交x轴于点G，是否存在t值，使$\frac{d}{OG}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

分析（1）由直线方程求得点A、B的坐标，由此求得OA、OB的长度，所以在直角△OAB中，由勾股定理来求b的值；
（2）根据题意作出答图2，利用（1）中直线方程和直线上点的坐标特征求得P点的坐标，则利于点与坐标的性质和勾股定理得到关于t的绝对值方程：$\sqrt{（4-4t）^{2}+（2-2t）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，即|t-1|=2$\sqrt{5}$t-2$\sqrt{5}$（t＞0），通过解该方程可以求得关系式；
（3）根据题意作出答图3，利用切线的性质和相似三角形的判定定理“两角法”推知△GAH∽△EAO和△AHQ∽△AQE，由相似三角形的对应边成比例可以得到相关线段的长度，则依据$\frac{d}{OG}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$和（2）中的结论可以求得相应的t的值．

解答解：（1）∵依题意知，直线AB：$y=-\frac{1}{2}x+b$分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴当x=0时，y=b，即B（0，b）．
当y=0时，x=2b．即A（2b，0）．
∵$AB=2\sqrt{5}$．
∴在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²=20，即（2b）²+b²=20，
解得b=2（舍去-2）．

（2）依题意答图1：且BF=d（d＞0），运动时间为t（t＞0）．
由（1）知，AB直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，则F在AB上，y=AP=2t，此时x=4-4t．
所以AB=$\sqrt{（4-4t）^{2}+（2-2t）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，|t-1|=2$\sqrt{5}$t-2$\sqrt{5}$（t＞0）
解得d=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t（0＜t＜2）．
或d=2$\sqrt{5}$t-2$\sqrt{5}$（t＞2）；

（3）依题意作答图2．
由图，易证△GAH∽△EAO，
∴$\frac{AG}{AE}$=$\frac{AH}{AO}$，且AO=4，
∴4AG=AE•AH．
又∵△AHQ∽△AQE，
可得$\frac{AH}{AQ}$=$\frac{AQ}{AE}$，则AQ²=AH•AE
∴4AG=AQ²，
∵AQ=r=2，
∴AG=1．
OG=OA-AG=3．
∵$\frac{d}{OG}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，即3d=$\sqrt{5}$OG，3d=3$\sqrt{5}$，
解得d=$\sqrt{5}$．
由（2）知，d=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t（0＜t＜2）．或d=2$\sqrt{5}$t-2$\sqrt{5}$（t＞2）
∴d=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t=$\sqrt{5}$，t=1（舍去）；
或d=$\sqrt{5}$t-2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，解得t=3
综上所述，t=-3．