Question

19．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，再求得点M的坐标．

解答 解：（1）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解之得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3，
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（-3，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3得，y=2
∴M（-1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，轴对称-最短路线问题，求得抛物线的解析式和直线的解析式是解题的关键．