Question

15．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为BC中点，EF∥AD交AB于点F．若BF=4AF，CD=$\frac{12}{5}$，则AC=$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 根据∠C=2∠B添加辅助线，在AB上截取AM=AC构造△DAM≌△DAC得DC=DM=BM，根据EF∥AD，求出CD，再证明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{BC}$列出方程解决问题．

解答 解：如图作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，在AB上截取AM=AC，
∵DA平分∠BAC，
∴DG=DH，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DH}{\frac{1}{2}•AC•DG}$=$\frac{AB}{AC}$，
设BE=EC=4a，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BF}{AF}=\frac{BE}{ED}=\frac{4}{1}$，
∴ED=a，CD=3a=$\frac{12}{5}$，
∴a=$\frac{4}{5}$，BD=5a=4，
在△ADM和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠DAM=∠DAC}\\{AM=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△DAC，
∴DM=DC，∠AMD=∠C，
∵∠C=2∠B，
∴∠AMD=∠B+∠MDB=2∠B，
∴∠B=∠MDB，
∴BM=MD=CD=$\frac{12}{5}$，设AC=AM=x，
则有$\frac{x+\frac{12}{5}}{x}=\frac{4}{\frac{12}{5}}$，
∴x=$\frac{18}{5}$．
故答案为$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键的利用2倍角添加辅助线构造全等三角形，学会转化的思想，想到用方程解决问题，属于中考填空题的压轴题．