Question

8．已知直线y=x-2t与抛物线y=a（x-t）²+k（a＞0，t≥0，a，t，k为已知数），在t=2时，直线刚好经过抛物线的顶点．
（1）求k的值．
（2）t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当t大于正数m时，无论自变量x取何值，y=x-2t的值总小于y=a（x-t）²+k的值，试求a与m的关系式．
（3）当0≤t＜m时，设直线与抛物线的两个交点分别为A，B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值？若有，请求出相应的t的取值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点式，可以得知抛物线的对称轴以及顶点坐标，将t=2代入直线，并将抛物线的顶点坐标代入直线中，即可求得k的值；
（2）将y=x-2t代入y=a（x-t）²+k中，得到关于x的一元二次方程，由根的判别式即可得知t的取值范围，从而得出m的值；
（3）联立（2）中的关于x的一元二次方程，当两根之差最大时，线段AB长度最大，从而可得出线段AB的长度最大时t的值．

解答 解：（1）抛物线y=a（x-t）²+k的对称轴为x=t，顶点坐标为（t，k）．
∵当t=2时，直线y=x-2t=x-4过点（2，k），
∴k=2-4，即k=-2．
（2）将y=x-2t代入y=a（x-t）²-2中，得：
x-2t=a（x-t）²+k，即ax²-（2at+1）x+at²+2t-2=0，
若要y=x-2t的值总小于y=a（x-t）²-2的值，
则有△=（2at+1）²-4a（at²+2t-2）＜0，
即4at＞8a+1，
∵a＞0，
∴t＞2+$\frac{1}{4a}$．
∵当t大于正数m时，无论自变量x取何值，y=x-2t的值总小于y=a（x-t）²+k的值，
∴m=2+$\frac{1}{4a}$．
（3）过点A做x轴的平行线l，过点B作y轴的平行线交l于点C，则有BC⊥AC，如图所示，

∵AB=$\frac{AC}{cos∠BAC}$，∠BAC为定值，
∴当AC最大时，AB也最大．
将y=x-2t代入y=a（x-t）²-2中，得：
ax²-（2at+1）x+at²+2t-2=0，
当0≤t＜m时，△＞0，即方程ax²-（2at+1）x+at²+2t-2=0有两个不相等的根，
解得x₁=$\frac{2at+1-\sqrt{△}}{2a}$，x₂=$\frac{2at+1+\sqrt{△}}{2a}$，
AC=x₂-x₁=$\frac{\sqrt{△}}{a}$．
∵a为定值，
∴当AB最大时，△=8a+1-4at最大，
由△=8a+1-4at在0≤t＜m内的单调性可知，当t=0时，△最大．
故当t=0时，线段AB的长度最大．
∵直线AB的解析式为y=x-2t，直线AC∥x轴，
∴tan∠BAC=1，
∴∠BAC=45°．
当a=0时，AC=$\frac{\sqrt{△}}{a}$=$\frac{\sqrt{8a+1}}{a}$，AB=$\frac{AC}{sin∠BAC}$=$\frac{\sqrt{16a+2}}{a}$．
故a为定值时，线段AB的长度存在最大值$\frac{\sqrt{16a+2}}{a}$，此时t的取值为0．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是：（1）找到抛物线的顶点坐标，代入直线解析式；（2）将y=x-2t代入y=a（x-t）²+k中，得到关于x的一元二次方程，令根的判别式小于0；（3）将y=x-2t代入y=a（x-t）²+k中，得到关于x的一元二次方程，表示出来两根，找两根之差最大．