题目内容
3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且B点的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式．
（2）点C为该抛物线的顶点，D为直线AB上一点，点E为该抛物线上一点，且D、E两点的纵坐标都为1，求△CDE的面积．
（3）如图②，P为直线AB上方的抛物线上一点（点P不与点A、B重合），PM⊥x轴于的M；交线段AB于点F，PN∥AB，交x轴于点N，过点F作FG∥x轴，交PN于点G，设点M的坐标为（m，0），FG的长为d，求d与m之间的函数关系式及FG长度的最大值，并求出此时点P的坐标．
分析 （1）由直线经过A、B点，可以求出A、B点的坐标，将其代入抛物线解析式即可求出a、b的值；
（2）将y=1分别代入直线和抛物线解析式，即可求得D、E点的坐标，由三角形的面积即可求出结果；
（3）根据平行四边形的性质，可得知FG=AN，用含m的代数式表示出来AN的长度，配方后即可得出结论．
解答 解：（1）令x=1，则y=-1+4=3，即点B（1，3），
令y=0，则0=-x+4，解得x=4，即点A（4，0）．
∵抛物线y=ax2+bx过点A、B，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{3=a+b}\\{0=16a+4b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=-x2+4x．
（2）依照题意画出图形，如图1，
将y=1代入直线y=-x+4中，得1=-x+4，解得x=3，
即点D坐标为（3，1）．
将y=1代入抛物线y=-x2+4x中，得1=-x2+4x，解得x=2±$\sqrt{3}$，
即点E的坐标为（2-$\sqrt{3}$，1）或（2+$\sqrt{3}$，1）．
∵抛物线的解析式为y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴点C的坐标为（2，4）．
点C到直线DE的距离h=4-1=3，
DE=2+$\sqrt{3}$-3=$\sqrt{3}$-1，或DE=3-（2-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$+1．
△CDE的面积=$\frac{1}{2}$h•DE=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{3}$±1）．
故△CDE的面积为$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$或者$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$．
（3）∵PN∥AB，FG∥AN，
∴四边形ANGF为平行四边形，
∴FN=AN．
∵PM⊥x轴，且点M（m，0），点P在抛物线y=-x2+4x上，
∴P点坐标为（m，-m2+4m）．
∵直线PN∥直线AB，且直线AB解析式为y=-x+4，
∴设直线PN的解析式为y=-x+c，
∵点P（m，-m2+4m）在直线PN上，
∴有-m2+4m=-m+c，即c=-m2+5m，
∴直线PN的解析式为y=-x-m2+5m．
令y=0，则有0=-x-m2+5m，解得x=-m2+5m，
即点N坐标为（-m2+5m，0）．
d=FG=AN=-m2+5m-4．
∵-m2+5m-4=-${（m-\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$，
当m=$\frac{5}{2}$时，PG长度取最大值$\frac{9}{4}$，此时P点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
点评 本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是：（1）利用直线解析式找出A、B点坐标；（2）将y=1分别代入直线和抛物线解析式，求出D、E点坐标，此处注意E点有2个；（3）根据平行四边形的性质得出FG=AN，用含m的代数式表示出AN，解取极值问题即可．
名校课堂系列答案
如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并求出△ABC的面积．
如图，在?ABCD中，DF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
已知直线y=x-2t与抛物线y=a（x-t）2+k（a＞0，t≥0，a，t，k为已知数），在t=2时，直线刚好经过抛物线的顶点．
已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点A（-3，0）、B（1，0），且与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．
已知，如图AB⊥BD，CD⊥BD，∠A=∠C．求证：（1）AB=DC；（2）AD∥BC．