Question

如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP．
（1）当⊙O与直角边AC相切时，如图2所示，求此时⊙O的半径r的长；
（2）随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围．
（3）当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？试求出这个最大值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由切线的性质求出PB的长，过P作PQ⊥BC于Q，过O作OR⊥PC于R，根据PQ∥AC得出PC的长，再由△COR∽△CPQ即可得出r的值；
（2）根据最短PC为AB边上的高，最大PC=BC=4即可得出结论；
（3）当P与B重合时，圆最大．这时，O在BD的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，由BD=

1

2

BC=2，由于AB是切线可知∠ABO=90°，∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，故可得出∠ABC=∠BOD，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答：（1）解：如图1，∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5．
∵AC、AP都是圆的，圆心在BC上，AP=AC=3，
∴PB=2，
过P作PQ⊥BC于Q，过O作OR⊥PC于R，
∵PQ∥AC，
∴

PQ

PB

=

BQ

BC

=

AC

AB

=

3

5

，
∴PQ=

6

5

，BQ=

8

5

，
∴CQ=BC-BQ=

12

5

，
∴PC=

PQ2+CQ2

=

6 5

5

，
∵点O是CE的中点，
∴CR=

1

2

PC=

3 5

5

，
∴∠PCE=∠PCE，∠CRO=∠CQP，
∴△COR∽△CPQ，
∴

OC

CR

=

PC

CQ

，即

r

3 5 5

=

6 5 5

12 5

，解得r=

3

2

；

（2）解：∵最短PC为AB边上的高，即PC=

3×4

5

=

12

5

，最大PC=BC=4，
∴

12

5

≤PC≤4；

（3）解：如图2，当P与B重合时，圆最大．O在BD的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，由BD=

1

2

BC=2，
∵AB是切线，
∴∠ABO=90°，
∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠ABC=∠BOD，
∴

BD

OB

=sin∠BOD=sin∠ABC=

BC

AB

=

4

5

，
∴OB=

5

2

，即半径最大值为

5

2

．

点评：本题考查的是圆的综合题，熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．