Question

18．已知实数x，y满足（x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$）=2016，则2x²-y²+x-y-2015的值为（　　）
（提示：$\frac{1}{y-\sqrt{{y}^{2}-2016}}$=$\frac{（y+\sqrt{{y}^{2}-2016）}}{（y-\sqrt{{y}^{2}-2016}）（y+\sqrt{{y}^{2}-2016}）}$=$\frac{（y+\sqrt{{y}^{2}-2016}）}{{y}^{2}-（{y}^{2}-2016）}$=$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}-2016}}{2016}$．）

• A． -2016
• B． 2016
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 根据题目中的式子和提示可以求得所求式子的值，本题得以解决．

解答 解：∵（x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$）=2016，
又∵$\frac{1}{x-\sqrt{{x}^{2}-2016}}=\frac{x+\sqrt{{x}^{2}-2016}}{（x-\sqrt{{x}^{2}-2016}）（x+\sqrt{{x}^{2}-2016}）}$=$\frac{x+\sqrt{{x}^{2}-2016}}{{x}^{2}-{x}^{2}+2016}=\frac{x+\sqrt{{x}^{2}-2016}}{2016}$，
∴（x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$）=2016，
变形，得
$\frac{2016（y-\sqrt{{y}^{2}-2016}）}{x+\sqrt{{x}^{2}-2016}}=2016$或$\frac{2016（x-\sqrt{{x}^{2}-2016}）}{y+\sqrt{{y}^{2}-2016}}$=2016，
∴$y-\sqrt{{y}^{2}-2016}=x+\sqrt{{x}^{2}-2016}$或$x-\sqrt{{x}^{2}-2016}=y+\sqrt{{y}^{2}-2016}$，
解得，x=y=$\sqrt{2016}$，
∴2x²-y²+x-y-2015=x²+（x²-y²）+（x-y）-2015=2016+0+0-2015=1，
故选D．

点评 本题考查二次根式的化简，解题的关键是明确二次根式化简的方法，求出所求式子的值．