Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过点D作DE丄DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求△BEF的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE=FC=3，同理求出AE=BF=4，根据面积公式求出即可．

解答：解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
∵

∠EBD=∠C BD=CD ∠EDB=∠FDC

，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
同理AE=BF=4，
∴△BEF的面积是

1

2

BE×BF=

1

2

×3×4=6．

点评：此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定的应用，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再根据三角形面积公式求出即可．