Question

12．已知如图：CD、CE分别是AB边上的高、中线，且∠1=∠2=∠3．求证：∠ACB=90°．

Answer 1

分析 过E作EF⊥BC于F，由∠1=∠2，且CD⊥AB，于是得到AD=DE，AC=CE，∠CEA=∠A，根据∠2=∠3，且DE⊥CD，EF⊥BC，推出∠CEF=∠CED，EF=DE=AD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$BE，且EF⊥BC，求得∠B=30°，∠BEF=60°，即可得到结论．

解答 证明：过E作EF⊥BC于F，
∵∠1=∠2，且CD⊥AB，
∴AD=DE，AC=CE，∠CEA=∠A，
∵∠2=∠3，且DE⊥CD，EF⊥BC，
∴∠CEF=∠CED，EF=DE=AD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$BE，且EF⊥BC，
∴∠B=30°，∠BEF=60°，
∴∠A=∠CED=∠CEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠BEF）=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°．

点评 本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．