Question

14．如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，BC=5，AE=6，则DE的长为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 先根据垂径定理得到AE=CE=6，再根据圆周角定理得到AB=13，再证明OE为△ABC的中位线得到OE=$\frac{1}{2}$BC=2.5，然后计算OD-OE即可．

解答 解：∵OD⊥AC，
∴AE=CE=6，
∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∵OA=OB，AE=CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=2.5，
∴DE=OD-OE=$\frac{1}{2}$×13-2.5=4．
故选C．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．